Bài báo sau đây là của Emilio Elizalde trên Mathematical Physics của Tạp chí Frontiers in Physics nói về các thách thức lớn của vật lý toán hiện nay trên thế giới. Các nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán của Việt Nam có thể tham khảo bài báo này để định hướng cho hoạt động của mình.

Việc viết ngắn gọn một danh sách có thể hiểu được về những thách thức lớn ở giới hạn cuối cùng của vật lý toán là một nhiệm vụ không dễ dàng. Vật lý toán là một lĩnh vực khoa học rộng lớn mà nó bao gồm ít nhất là (và dĩ nhiên là không phải là chỉ dành riêng cho nó) phát biểu toán học của cơ học cổ điển, các khía cạnh toán học có liên quan của cơ học thống kê, thủy động lực học, âm học, nhiệt động lực học, các lý thuyết trường cổ điển và lượng tử,  đặc biệt là nghiên cứu về các nguyên lý đối xứng trong các lý thuyết chuẩn (gauge theory), lý thuyết nhóm cổ điển và lượng tử, các lý thuyết dây và M, các vấn đề toán học trong cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin lượng tử, các hàm đặc biệt của vật lý toán, lý thuyết phân bố trong vật lý, các cơ sở của lý thuyết trường lượng tử đại số và tiên đề, hỗn loạn (chaos) cổ điển và lượng tử, các fractal, các mối liên hệ hiện đại giữa tổ hợp và vật lý, vũ trụ học toán học, các cơ sở của lý thuyết trường mạng, các lý thuyết bao hàm các ma trận ngẫu nhiên,v.v… Danh sách này có thể ngày càng dài hơn và hoàn toàn không thể không đề cập tới nhiều liên kết quan trọng giữa vật lý và toán học mà ở đó một đầu vào có liên quan nào đó bởi các nhà vật lý toán có thể được ghi nhận. Nói ngắn gọn, các mục đích của chúng ta là nhằm đưa ra cách nhìn rộng nhất về lĩnh vực mà người ta có thể hình dung với các giới hạn tận cùng cực kỳ rộng lớn của nó và những thách thức lớn mà chúng ta đang liệt kê dưới đây nhất thiết sẽ giao nhau với nhiều thách thức lớn của các lĩnh vực khác của vật lý và toán học ngày nay.

Để tìm cảm hứng cho một tương lai đầy thách thức và cho điều mà chúng ta có thể kỳ vọng hoặc cho việc làm thế nào để sự việc có thể tiến triển từ bây giờ, trước hết ta xem xét lại quá khứ của lĩnh vực vật lý toán và tổng quan rất ngắn gọn về những dấu mốc và những thời điểm vinh quang trong quá khứ. Chắc chắn rất ít người bây giờ coi Bernhard Riemann là một nhà vật lý toán và có lẽ thậm chí có ít hơn các nhà khoa học  hiện nay biết được điều đó. Vào thời của mình, Riemann được coi là một nhà vật lý chứ không phải là một nhà toán học. Từ thiên tài kỳ diệu của ông mà chúng ta có được những ý tưởng cơ bản như khái niệm cực kỳ hữu ích của một không gian nhiều chiều. Nó cũng là một không gian vô hạn chiều. Nó được Banach và Hilbert thêm vào các metric và chuẩn và là cơ sở cho nền tảng toán học chặt chẽ, sự phát triển quá khứ và hiện tại của toàn bộ cơ học lượng tử và các lý thuyết dây hiện nay cùng với gần như bất kỳ lý thuyết nào mà người ta có thể nghĩ ra. Mặt khác, hình học Riemann tạo thành “cơ thể” của toán học và để lại dấu ấn đậm nét trong chính khái niệm Thuyết tương đối tổng quát của Einstein – cơ sở của vũ trụ học hiện đại. Không thể không nói đến hàm zeta mà nó đem lại nhiều ứng dụng quan trọng và phong phú. Khi nhìn về quá khứ, các công trình của von Neumann, Dirac, Wigner và nhiều người khác nữa mà ta không thể đề cập chi tiết là hết sức quyết định trong sự phát triển đối với một thời kỳ vàng son của vật lý toán [đối với một phần danh sách của những sách kinh điển nhất xem (Whitaker và Watson, 1927; Weyl và Robertson, 1931; Titchmarsh, 1939; von Neumann và Beyer, 1955; Courant và Hilbert, 1989) và đối với một số tài liệu tham khảo có liên quan khác (Reed và Simon, 1972-1977; Margelau và Murphy, 1976; Thirring và Harrell, 1978-1983; Geroch, 1985; Glimm và Jatfe, 1987; Artken và Weber, 1995; Kato, 1995; Haag, 1996; Arnold và cộng sự, 1997; Bender và Orszag, 1999; Morse và Feshbach, 1999; Boas, 2006; Francoise và cộng sự, 2006; Abraham và Marsden, 2008)].

Bây giờ khi nhìn vào tương lai của vật lý toán trong cố gắng xác định những thách thức lớn đối với các giới hạn tận cùng của vật lý toán và dựa vào tầm quan trọng của nhiều mối quan hệ tương hỗ được thiết lập gần đây trong giao diện giữa vật lý và toán học (lý thuyết thông tin, lý thuyết nút, lý thuyết hấp dẫn, nhiệt động lực học, thủy động lực học và lý thuyết trường lượng tử), ta cần bắt đầu đề cập đến sự phát triển của lý thuyết dây – não –M. Thậm chí nếu thách thức lớn thực sự của việc xây dựng một lý thuyết cho mọi sự vật (TOE) là một sự thống nhất của tất cả các tương tác qua các nguyên lý chuẩn (gauge) (và toàn ảnh (holographic)) dường như rất khó sớm đạt được bất cứ điều gì (Ellis, 1996; Zalsow, chưa công bố; Smolin, 2006), người ta đúng là nên ghi nhận những tiến bộ đã thu được và minh họa bằng ví dụ chẳng hạn như bởi nhiều mối quan hệ tương hỗ đã được đề cập. Điều này dường như là một con đường rất có triển vọng để theo đuổi (Weinberg, 1993; Baez và Muniain, 1994; Holloway, 2005; Duff, 2011). Việc nghiên cứu một số vấn đề cơ bản nhất trong bài toán về sự lượng tử hóa của các trường như sự lượng tử hóa biến dạng, các không gian đối xứng,v.v…cũng rất quan trọng để đưa ra một mẫu cuối cùng. Một thách thức lớn khác mà nó cần phải làm với những phát triển này là câu hỏi về lực hấp dẫn của Einstein là tồn tại hay không tồn tại một lý thuyết thoát ra một cách riêng biệt từ nhiệt động lực học và cả sự thoát ra của chính không gian – thời gian. Dĩ nhiên, chúng là các câu hỏi rất vật lý và cơ bản nhưng trong việc đưa ra chúng, chúng có một hàm lượng toán học cực kỳ nặng và có thể được xem như thất bại ít nhất một phần trong lĩnh vực vật lý toán tương lai.

Điều mà chúng ta bắt đầu với các khái niệm “như sợi dây” hoàn toàn không có nghĩa là những thách thức này có bất kỳ ưu tiên nào đối với các giới hạn tận cùng của vật lý toán và cũng không có điều ngược lại dù thế nào đi nữa. Mục đích của chúng ta là thực sự cố gắng chỉ một lần này nữa thôi vượt qua sự phân chia nhân tạo này thành các nhà vật lý toán “dây” và “không dây” hoặc bất kỳ loại phân loại hoặc chia nhỏ nào khác. Các mối quan hệ tương hỗ đã nói trên đây không đề cập đến một số các thách thức rất quan trọng khác trong các giới hạn tận cùng của vật lý toán chẳng hạn như các thách thức trong thủy động lực học cần phải làm với dòng chảy rối và chính lời giải của phương trình Navier-Stokes. Những thách thức gắn với những bài toán lớn như dự báo khí hậu, các dòng đại dương phạm vi lớn, việc xây dựng một mô hình toán học để mô tả vật lý thủy tinh, vật lý plasma, mô hình hóa đúng từ trường Mặt Trời,v.v… Hơn nữa, trong lý thuyết thông tin lượng tử, cần tiếp tục chú ý đến mẫu mất thông tin trong các hố đen. Sự lượng tử hóa lực hấp dẫn có thể được tiếp cận bằng các lý thuyết khác giống như lực hấp dẫn lượng tử vòng (loop quantum gravity) mà trong đó cũng bao hàm các phương pháp toán học nặng, các phân bố ngẫu nhiên (các phép đo đạc tam giác) và các lý thuyết trên mạng.

Trong vũ trụ học toán học, ta dễ dàng nhận diện một số thách thức lớn cần phải làm với các vần đề cốt yếu mà một trong số đó là tính khả thi của các phát biểu toán học lựa chọn về lực hấp dẫn (các lý thuyết hấp dẫn biến dạng) trên các thang đo rất lớn giống như các mô tả thực (hoặc ít nhất chủ yếu là gần đúng hơn) về vũ trụ của chúng ta. Một thách thức lớn khác ở đây là tìm một mô hình toán học về nguồn gốc ban đầu của vũ trụ, một mẫu lạm phát cuối cùng,v.v… một khi ý tưởng kỳ dị (toán học) ban đầu không còn dùng được nữa do nó không thể tương ứng với câu trả lời vật lý cuối cùng. Nhờ vào các hiệu chỉnh lượng tử (và có thể là hiện tượng vật lý mới chưa biết), ta bảo đảm đụng chạm đến chúng khi ta tiếp cận (và tiếp tục dưới đây) với thang đo Planck. Phân tích toán học về các kỳ dị tương lai và các hiệu chỉnh lượng tử của chúng trong các mô hình đối với sự tiến hóa vũ trụ của chúng ta cũng tạo thành một lĩnh vực nghiên cứu thiết yếu.

Một số thách thức lớn quan trọng cần phải làm với độ dẫn Hall lượng tử, các mấu Ising, Hubbard, Potts, sigma và O(N) và các mẫu khác (các hàm mũ và các chiều, các trạng thái mở rộng), sự sinh entrôpi, chất sắt từ Heisenberg lượng tử, các thủy tinh spin, sự ngưng kết Bose-Einstein và phương trình Gross-Pitaevskii. Một số bài toán khác trong các lý thuyết ma trận ngẫu nhiên cũng tạo thành một lĩnh vực nghiên cứu đầy thách thức trong tương lai tiếp theo. Việc xem xét những thách thức lớn gắn với hàm zeta, trong đó thách thức nổi tiếng nhất là phỏng đoán Riemann mà nó có thể được cho là bài toán quan trọng nhất trong toán học từ trước đến nay làm cho chúng ta chú ý đến việc áp dụng quan trọng nhất của hàm zeta trong vật lý như một công cụ hợp thức hóa trong lý thuyết trường lượng tử, vai trò quan trọng của nó trong sự hỗn loạn (chaos) lượng tử đặc biệt là khi xét các điểm không không tầm thường như tương ứng với một hệ động lực vật lý và áp dụng có thể có của nó hướng tới phát triển một cách tiếp cận vật lý để tìm lời giải cho chính phỏng đoán Riemann. Selberg, Ruelle và nhiều người khác đã mở rộng khái niệm hàm zeta để giải các bài toán thực của chính các hệ động lực. Trong nghiên cứu các thăng giáng chân không lượng tử và nhiều bài toán phổ khác nhau, các hàm zeta và các hàm đặc biệt khác của vật lý toán cũng đóng một vai trò quyết định. Một sự tái chuẩn hóa đúng mà ta còn chưa cần của năng lượng chân không này có thể dẫn đến một lời giải khả thi đối với bài toán hằng số vũ trụ. Những thách thức lớn mang tính toán học nhiều hơn cần phải làm gắn với sự tồn tại và khe khối lượng của các lý thuyết Yang-Mills.

Những thách thức lớn khác trong các giới hạn tận cùng của vật lý toán thực ra bị đối diện kép do chúng thể hiện vai trò quan trọng đối với cả toán học và vật lý chẳng hạn như vấn đề Pđối với NP, vấn đề hóc búa phức tạp, mô hình hóa lý thuyết thảm họa và vật lý nhằm cuối cùng tiến đến thách thức lớn cực kỳ hấp dẫn của việc tạo mô hình đúng quá trình ý thức và trước đó của các quá trình sinh học quan trọng khác tại mức bộ gen, protein và tế bào, xử lý bệnh,v.v… không quên được vấn đề lý thú của ssống nhân tạo. Một số nhà vật lý toán đã theo đuổi các nghiên cứu này với các kết quả thú vị. Chúng ta có thể còn tiếp tục.